Криві другого порядку на площині

8. Властивості визначників n-го порядку

1)                Значення визначника не зміниться при його транспортуванні – при заміні рядків відповідними стовбчиками і навпаки.

            ДОВЕДЕННЯ

                   Розглянемо відповідні доданки визначників detA і detA

         і         

Виписані доданки складаються з однакових множників

Нехай >       , тобто є інверсія тоді переставимо місцями  та  у 2-му добутку, тому виникне інверсія і у другому добутку,і т.д.

Висновок: кількість інверсій у першому добутку дорівнює кількості інверсій у

2-му, доданки мають однакові знаки , отже Визначники РІВНІ!!!

2)                При переставленні двох сусідніх рядків(стовбців)  змінюється парність переставлення, тобто маємо інверсію.

ДОВЕДЕННЯ:

Нехай треба поміняти місцями і-й і к-й рядок, причому між ними – м рядочків. Якщо переставити к-й рядок на місце і-го, то матимемо (м+1) переставлень; якщо преставимо і-й на к-й , то маємо м переставлень. Всього (2м+1) переставлень. Тому кількість інверсій змінюється на непарне число (2м+1), та це призводить до зміни знаку у кожному доданку. Висновок:при переставленні рядків, визначник змінює знак.

3)                Спільний множник всіх елементів деякого рядка(стовбця) можна винести за знак визначника.

ДОВЕДЕННЯ:

         Випливає з того , що кожний доданок алгебраїчної сумми містить 1 , і тільки 1, елемент кожного рядка.

4)                Якщо увизначника всі елементи деякого рядка є сумами двох доданків, то цей визначник дорівнює суммі двох визначників, що відрізняються від заданого вибраним рядком

ДОВЕДЕННЯ:

         Якщо елементи і-го рядка є сумами 2-х доданків, то будь-який додатковий визначник представляється у вигляді  **...**...*=

=**...*()*...*=**...**...*+

+**...**...*

Де і-ті доданки є членами розкладу визначника  ’ ,а другі- доданка

5)                Визначник =0 , при виконанні 1-ї з наступних умов.

I.                                                Всі елементи деякого рядка(стовбця)=0

II.                                                Всі елементи деякого рядка(стовбця) – пропорційні відповідним елементам іншого рядка(стовбця).

III.                                                Якщо є 2 однакових рядки(стовбці)

Доведення

         1)Очевидний

2)всилу 3-го пункту

3)нехай у визначнику D є 2 однакові рядки,переставимо місцями ці рядки     D=(- D)  D=0

6)                Визначник не змінює свого значення, якщо до елементу деякого рядка(стовбця)                 додати відповідні елементи іншого рядка(стовбця), домноженого на деяке число.

ДОВЕДЕННЯ:

         Це наслідок властивостей 3,4,5.

7)                Формула Лапласа для визначників n-го  порядку:

                              розклад за j–м стовбцем

                              розклад за і –м  рядком 

ДОВЕДЕННЯ:

         Згрупуємо всі доданки визначника D , які містять елемент  і позначемо це як сумму  =

(  Отже множення на – не вносить інверсію,тобто не впливає на знак результату. Підсумування ()  виконується по всіх переставленнях  чисел 2,3,...,n . Тобто маємо (n-1)! Доданків)

З’ясуєму чому дорівнює сумма доданків у розкладі D, що містить множник . Побудуємо матрицю з матриці a переставленням і-го рядка на 1-ше місце всьго буде переставлень (і-1)+(j-1)=i+j-2

Тоді за властивістю 2 матимемо

    

загальна кількість доданків в правій частині (n-1)!*n=n!

Одержаний вираз містить n! доданків. Всі доданки- різні і мають ті ж знаки, що і у розкладі detA але у розкладі detA є всього n! доданків, отже detA= ,

        8)    ,jk ;   j,k=

            ,ik ;   i,k=

              ДОВЕДЕННЯ:

          Поміняэмо елементи і-го рядка зліва і зправа в формулі Лапласа на елементи 1-го рядка. Тоді визначник = 0 =

Узагальнимо властивості 7,8:

                            -символ Кронекера

                            = 

Зацікавило?

Змiст

Нові надходження

Всього підручників:

292