Криві другого порядку на площині

33. Екстремум функції

х0-т. локального екстремуму(max۷min)

існує О(х0) V х є Х∩О(х0) (f(х)<(>)f(х0))

∆у(х)>f(х)-f(х)

х0-строго лок max↔∆y(х0)<0

х0-строго лок min↔∆у(х0)>0

теор(необхідна умова лок екстремума)

якщо ф-ія задано в околі точки локального екстремума х0 то в цій точці похідна ф-ії або не існує або=0, наслідок теореми Ферма

Достатні умови екстремуму (використ першої похідної).

Теорема(достатня умова):нехай ф-ія f неперервна в деякому околі т.О(х0),х0-критична т.f(х). f(х)-диф О(х0) тоді якщо 1) f”(х)<0,х<х0; f”(х)<0 х>х0 →х0-строго max.

Дов:V х єО(х0) [х0,х],х>х0     f(х)-f(х0)=f ‘(ξ)(х-х0)   ξ є(х0,х)   ∆у>0   х0-строго лок min.

т. х0 наз точкою зростання ф-ії ф-ії f(х) якщо існує окіл т. х0 такий що f(х)-f(х0)<0, х<х0, f(х)-f(х0)>0,х>х0. х0 т. спадання якщо навпаки.

 Достатні умови екстремуму (використання похідних вищих порядків).        __

Теорема(достатні умови екстр):якщо f(х) n раз диф в т.х0 f(в степені k)(х0)=0,k=1,n-1                           

f(в степені n)(х0)≠0. n=2m, m є N→х0-т. локе кстремума f(х),

причому х0-лок max, якщо f(в степені 2m)(х0)<0

                             min,якщо f(в степені 2m)(х0)>0       n=2m-1

х0-не є т. екстремума ,х0-т. зростання ф-ії,якщо f(в степені 2m-1)(х0)>0,х0-точка спад (в степені 2m-1)(х0)<0. Скористаємося формулою Гейлора для f(х) вт.х0 f(х)>f(х0) f´(х0)(х-х0)+….+ f(в степені 2n-1)(х0) *(х-х0)(в степані n-1)+ f(в степені n)(х0)*(х-х0)(в степені n)+

                      (n-1)!                                                                n!

+О(х-хо). 

∆у(х0)= f(в степені n)(х0) *∆х(в степені n)+О(∆х(в стені n)

                     n1

f(в степені n)(х0)≠0 

 О(∆х(в стені n))=О(f(в степені n)(х0)*∆х(в степені n)=α(∆х(в степені n)* (f(в степені

                                               n!

n)(х0)*∆х(в степені n)

    n!

Отже за знак прирісту ∆у суттєво впливає доданок(другий малий порівнянно з першим при ∆х→0    1)m=2m  ∆х(в степені 2m)>0    f(в степені 2m)(х0)>(<)0→∆у(х0)>(<)0→х0-min(max)

   2)n=2m-1    ∆х(в степені 2m-1) <(>)0→∆у(х0)-змінює знак точка росту(-;+)спад(+;-)

Зацікавило?

Змiст

Нові надходження

Всього підручників:

292