Криві другого порядку на площині

32. Перше правило Лопіталя.

Розкриття невизначеності типу 0/0. Відношення 2-х ф-й f(x)/g(x) при х→а є невизначеністю типу 0/0, якщо

Розкрити невизн—знайти гранич знач (якщо це гранич знач ). 

Теорема(правило Лопіталя). Нехай 2 ф-ї f(x) і g(x) визначені і диференц всюди в деякому околі т. а, за виключенням,можливо,самої т. а. Нехай, надалі,  і g'(x)не=0 у вказаному вище околі т. а. Тоді,якщо (скінч або нескінч)гранич знач ,  то  і гранич знач , причому справедлива ф-ла:

(1)

Теор(1) дає нам правило для розкриття невиз типу 0/0,що зводить обчисл гранич знач віднош 2-х ф-й до знаходж гранич знач віднош їх похідних.

Довед. Нехай {хn} —  будь-яка послід знач аргумента, що сходиться до а і склад з чисел, відмінних від а. Будемо розглядати цю послід, починаючи з того номера n, з якого всі хn належать околу т. а, вказаної в  теор. Доозна-чимо ф-ї f(x) и g(x) в т. а, визначивши їх =нулю в цій точці. Тоді f(x) і g(x) будуть неперерв на всьому сегменті [а, хn] i диференц у всіх внутр точках цього сегменту. Крім того, g'(x)не=0 всюди всеред цього сегмента. Отже, для f(x) і g(x) на [а, хn] викон всі умови теор Коші.Згідно з нею, всеред[а, хn] знайдеться т. ξn така, що (2).Враховуючи,що f(a) = g(a) = 0, можна переписати ф-лу (2): (3).Нехай тепер в ф-лі (3) n→∞. Тоді ξn→а. Так як , то права ч-на (3) при n→∞ наближ до цього гранич знач. Отже,  границя при n→∞ i лівої ч-ни (3). За визнач гранич знач ф-ї ця границя =. Таким чином, в границі при n→∞ рівність (3) переходить в рівність (1). Теорема доведена.

Зауваж1. Якщо до умов теор додати вимогу неперерв f'(x) і g'(x) в т. а,то при g'(a)не=0 ф-лу (1) можна переписати: .

Зауваж2. Якщо f'(x) і g'(x) задовільн ті ж умови, що і f(x) і g(x), то правило Лопіталя можна застосув повторно: .

Заув3.Теор діє у випадку,коли аргум х→ не до скінч,а до нескінч границі а =+∞ або а =-∞. Напр, якщо а=+∞: нехай 2 ф-ї f(x) и g(x) визнач і диференц всюди на півпрямій с < х < ∞. Нехай і g'(х)не=0 на даній півпрямій.Тоді, якщо  ,то і  , причому .

Зацікавило?

Змiст

Нові надходження

Всього підручників:

292