Криві другого порядку на площині
11. Ранг матриці.
Нехай є матр. А mxn . Будемо розглядати рядки матр. як n-вимірні вектори простору Rn, а стовпці – як m-вимірні вектори простору Rm. Можна вивчати лінійну залежність і незал. рядків або стовпців матр. А.
Мінором і-го порядку матр. А назив. визначник і-го порядку з елементами, розміщеними на перетині будь-яких і-рядків та і-стовпців матр. А.
Рангом матр. А наз. максимальний порядок відмінних від нуля мінорів матриці і позн. r(A) або rang(A); r(θ) = 0; 0≤r(A)≤min{m,n}
Будь-який мінор, що≠0 порядку r(A) назив. базисном мінором, а стовпці і рядки, в яких він розміщ., назив. базисними.
Теорема:Базисні стовпці(рядки) матриці лінійно незалежні та будь-який стовпець(рядок) є лін. комбінацією базисних стовпців(рядків).
Висновок1:вимірність підпростору, породженого деякою сист. векторів = рангу матриці, складеної з коорд. цих векторів відносно деякого базису.
Висн.2: Максим. к-сть лін. незалежних стовпців(рядків) матриці = рангу матриці
Теорема: Для того, щоб визначник матр. А порядку n=0, необх. і достатньо, щоб його стовпці(рядки) були ліню залежними.
Для знах. рангу матриці зручно звести її елементарн. перетвор. з рядками до так званої ступінчастої матриці. Ця матриця має таку будову: 1)ненульові рядки розм. вище нульових,2)кожний провідний елемент, який є першим ненульовим елем. в своєму рядку(рахуючи зліва направо)=1, 3)кожний провідн. елемент розміщ. праворуч від провідного елем. попереднього рядка. G-ступінчаста матриця. G=LA, L-добуток елементарних матриць. r(G)= r(LA)= r(A)
Теорема: Для mxn матр. А рангу r існують такі
невироджені матриці L і M порядків m і nвідповідно, що LAM=
Теорема: Ранг добутку двох матриць не перевищує рангу кожного з множників r(АВ)≤r(A); r(АВ)≤r(В). Д-ня: розглянемо блокову матрицю (АВ А) : r(АВ)≤r(AВ А)≤r(А), де АВ-лін. комбінація стовпців матр. А.
Наслідок: множення матриці на невиродж. матр. не змінює її ранг. Д-ня:
r(А)=r(AВВ-1)≤r(АВ)≤r(A) => r(А)=r(AВ), В-невиродж.
12.Системою
лінійних рівнянь- наз. с-ма, що склад. з m рівнянь, які містять n невідомих
вигляду.(1)
де х,
=
Коефіцієнти при невідомому утв. таблицю,
яка наз. матрицею розміру mn
якщо
m=n, то матриця наз.
квадр. порядку n
Одинична матриця- квадр. матр. на головній діагоналі якої стоять 1 решта елем. =0.
Змінні і вільні члени можна пред. у вигляді таких матриць
Розв’язком СЛР- наз. така
сукупність чисел ,
які перетворюють кожне з рівнянь системи в тотожність.
Якщо СЛР має розв.- наз. сумісною, якщо ні- то несумісна.
Якщо СЛР має єдиний розв’язок- визначена, якщо більше- невизначена.
Зауваження:
другого
порядку
2СЛР- наз. еквівалентними, якщо ці системи мають одну й ту саму множ. розв’яз. або вони одночасно несумісні.
Елементарні перетворення СЛР-такі перетворення + до обох частин деякого рівняння с-ми іншого рівняння множ. на деяке число.
Переставлення двох будь-яких рівнянь, множення деякого р-ня на число, яке не =0, видалення з сист. рівняння вигляду 0=0.
Доведення: Нехай до 2-го рів-ня додали 1-ше
помнож. на.
Утв. нове рівняння. Нехай L
=
,L
-два рівняння
початкової системи. Рівняння L
замінимо на
.
Якщо прав. рівності
і
L
поч.. с-ми, то
викон. рівності L
=
і
.
навпаки, якщо викон. рівності L
=
і
перетворення
с-ми, то правильні рівності L
=
і L
-початков.
3. Криві другого порядку на площині.
4. Комплексні числа. Тригонометрична форма комплексного числа
5.Визначники 2–го порядку та їх властивості.
Визначник 3-го порядку. Алгебраїчні доповнення та мінори. Формула Лапласа.
6. Формула Крамера для систем лінійних алгебраїчних рівнянь ІІ і ІІІ порядків.
7. Означення визначника n-го порядку
8. Властивості визначників n-го порядку
49. Інтегрування раціональних дробів.
51. Інтегрування тригонометричних виразів, універсальна тригонометрична підстановка.
Нові надходження
Общая психология и история психологии
Государственное регулирование экономики
Методичні вказівки та завдання до курсової роботи
Муніципальне право як наука і навчальна дисципліна
Сутність, цілі та соціальні основи маркетингу
Конструювання програмного забезпечення
Внутрішній економічний механізм підприємства
Маркетинг та його специфіка у банківській сфері