Криві другого порядку на площині

11. Ранг матриці.

Нехай є матр. А mxn . Будемо розглядати рядки матр. як n-вимірні вектори простору Rn, а стовпці – як m-вимірні вектори простору Rm. Можна вивчати лінійну залежність і незал. рядків або стовпців матр. А.

Мінором і-го порядку матр. А назив. визначник і-го порядку з елементами, розміщеними на перетині будь-яких і-рядків та і-стовпців матр. А.

Рангом матр. А наз. максимальний порядок відмінних від нуля мінорів матриці і позн. r(A) або rang(A); r(θ) = 0; 0≤r(A)≤min{m,n}

Будь-який мінор, що≠0 порядку r(A) назив. базисном мінором, а стовпці і рядки, в яких він розміщ., назив. базисними.

Теорема:Базисні стовпці(рядки) матриці лінійно незалежні та будь-який стовпець(рядок) є лін. комбінацією базисних стовпців(рядків).

Висновок1:вимірність підпростору, породженого деякою сист. векторів = рангу матриці, складеної з коорд. цих векторів відносно деякого базису.

Висн.2: Максим. к-сть лін. незалежних стовпців(рядків) матриці = рангу матриці

Теорема: Для того, щоб визначник матр. А порядку n=0, необх. і достатньо, щоб його стовпці(рядки) були ліню залежними.

Для знах. рангу матриці зручно звести її елементарн. перетвор. з рядками до так званої ступінчастої матриці. Ця матриця має таку будову: 1)ненульові рядки розм. вище нульових,2)кожний провідний елемент, який є першим ненульовим елем. в своєму рядку(рахуючи зліва направо)=1, 3)кожний провідн. елемент розміщ. праворуч від провідного елем. попереднього рядка. G-ступінчаста матриця. G=LA, L-добуток елементарних матриць. r(G)= r(LA)= r(A)

Теорема: Для mxn матр. А рангу r існують такі невироджені матриці L і M порядків m і nвідповідно, що LAM=

Теорема: Ранг добутку двох матриць не перевищує рангу кожного з множників r(АВ)≤r(A); r(АВ)≤r(В). Д-ня: розглянемо блокову матрицю (АВ А) : r(АВ)≤r(AВ А)≤r(А), де АВ-лін. комбінація стовпців матр. А.

Наслідок: множення матриці на невиродж. матр. не змінює її ранг. Д-ня:

r(А)=r(AВВ^-1)≤r(АВ)≤r(A) => r(А)=r(AВ), В-невиродж.

12.Системою лінійних рівнянь- наз. с-ма, що склад. з m рівнянь, які містять n невідомих вигляду.(1)

де х, =

Коефіцієнти при невідомому утв. таблицю, яка наз. матрицею розміру mn

якщо m=n, то матриця наз. квадр. порядку n

Одинична матриця- квадр. матр. на головній діагоналі якої стоять 1 решта елем. =0.

Змінні і вільні члени можна пред. у вигляді таких матриць

Розв’язком СЛР- наз. така сукупність чисел , які перетворюють кожне з рівнянь системи в тотожність.

Якщо СЛР має розв.- наз. сумісною, якщо ні- то несумісна.

Якщо СЛР має єдиний розв’язок- визначена, якщо більше- невизначена.

Зауваження:

другого порядку

2СЛР- наз. еквівалентними, якщо ці системи мають одну й ту саму множ. розв’яз. або вони одночасно несумісні.

Елементарні перетворення СЛР-такі перетворення + до обох частин деякого рівняння с-ми іншого рівняння множ. на деяке число.

Переставлення двох будь-яких рівнянь, множення деякого р-ня на число, яке не =0, видалення з сист. рівняння вигляду 0=0.

Доведення: Нехай до 2-го рів-ня додали 1-ше помнож. на. Утв. нове рівняння. Нехай L= ,L-два рівняння початкової системи. Рівняння L замінимо на . Якщо прав. рівності і Lпоч.. с-ми, то викон. рівності L= і . навпаки, якщо викон. рівності L= і перетворення с-ми, то правильні рівності L= і L-початков.