Использование формул комбинаторики в классической схеме

Использование формул комбинаторики в классической схеме

          При подсчете числа элементарных исходов в классической схеме можно использовать формулы комбинаторики.

Перестановки:

Количество перестановок – количество способов, которыми n предметов можно разместить на n мест.

Размещения:

Количество размещений – количество способов, которыми n предметов можно разместить на k мест.

Сочетания:

Количество сочетаний – количество способов, которыми можно выбрать k предметов из n без учета порядка выбора.

Размещения с повторениями:

Сочетания с повторениями:

          Для использования формул комбинаторики при подсчете количества благоприятных некоторому событию исходов, необходимо ответить на два вопроса:

1.     Имеет ли значение порядок выбора элементов?

2.     Возможны ли повторы (схема с возвращением или без возвращения)?

 

Особенности эксперимента

Повторения

Нет

Есть

Порядок выбора

Не важен

Важен

 

Схема выбора, приводящая к сочетаниям

          Опыт состоит в выборе k элементов из n без возвращения и без упорядочивания.

Задача 1.

Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, случайным образом извлекают 3 изделия для контроля. Найти вероятности событий:

A = {в полученной выборке все изделия бракованные }

B = { в выборке содержится хотя бы одно бракованное изделие}

C = { в выборке ровно два бракованных изделия }

Задача 2.

Из 1000 флаконов шампуня 15 содержат выигрышные талоны лотереи. Купили 3 флакона. Найти вероятности событий:

A = { из трех флаконов ровно 1 флакон выигрышный }

B = { из трех флаконов хотя бы один выигрышный}

Задача 3.

После сбора дополнительной маркетинговой информации, фирмой было установлено, что из 15 кандидатов в поставщики:

Ø 3 поставщика поставляют продукцию высшего качества и в срок,

Ø 7 – продукцию высшего качества, но бывают задержки с поставками,

Ø 5 – продукцию, качество которой не удовлетворяет фирму-производителя.

Считая, что фирма выбирает 5 поставщиков, не имея этих сведений, найти вероятности событий:

A = {будут выбраны только поставщики второго типа }

B = { все поставщики первого типа попадут в выборку}

C = { не будет выбрано ни одного поставщика третьего типа }

Задача 4.

В пенале лежит 10 ручек: 2 красные, 3 синие, 4 зеленые, 1 желтая. Случайным образом выбираем 3 ручки. Найти вероятности событий:

A = {нет красных ручек }

B = { все ручки зеленые}

C = { все ручки одного цвета }

D = {не все ручки одного цвета }

E = { все ручки разных цветов}

F = { есть красные и зеленые ручки }

G = { нет ни красных, ни зеленых ручек }

Схема выбора, приводящая к размещениям

          Опыт состоит в выборе k элементов из n без возвращения, но с  упорядочиванием по мере выбора.

Задача 1.

В пенале лежит 10 ручек: 2 красные, 3 синие, 4 зеленые, 1 желтая. Случайным образом выбираем 3 ручки и рисуем каждой ручкой по одной полоске: первую, вторую и третью. Найти вероятности событий:

A = { первая полоска красная }

B = { вторая полоска красная}

C = { вторая полоска не красная }

D = { первая полоска красная,  вторая – желтая, третья – зеленая}

E = { вторая и третья полоска синие}

F = { первая полоска желтая, а третья – не синяя}

Задача 2.

Фирма размещает 8 плакатов на 8 остановках автобуса, который ходит по кольцу. Какова вероятность того, что два определенных плаката окажутся рядом?

Задача 3.

Фирма размещает 8 плакатов на остановках трамвая (вдоль прямой трамвайной линии) Какова вероятность того, что два определенных плаката окажутся рядом, если:

а) число остановок 8;

б) число остановок 12.

Задача 4.

В городе 8 мест, в которых фирма может установить свои плакаты. Всего плакатов 16 штук. Плакаты устанавливаются случайным образом, по одному на каждое место (т.е. некоторые плакаты останутся не установленными).

а) Какова вероятность того, что 2 определенных плаката не будут установлены?

б) Какова вероятность того, что 3 определенных плаката будут установлены?

Схема выбора, приводящая к размещениям с повторениями

          Опыт состоит в выборе k элементов из n с возвращением и с  упорядочиванием по мере выбора.

Задача 1.

Бросают 10 игральных костей. Найти вероятности событий:

A = { ни на одной кости не выпадет 6 очков }

B = { хотя бы на одной кости выпадет 6}

C = { ровно на трех костях выпадет 6 }

D = { хотя бы на 3 костях выпадет 6 }

Задача 2.

Случайным образом записывается 7 цифр подряд. Найти вероятности событий:

A = { четыре последние цифры совпадают }

B = { все цифры различны}

C = { первая цифра 5 }

D = { среди семи цифр есть три «5», две «1» и две «2»}

Задача 3.

Опыт состоит в том, что 9 различных предметов случайным образом распределяются среди 5 человек, причем каждый человек может получить любое количество предметов из имеющихся. Найти вероятности событий:

A = { все предметы достанутся одному из участников }

B = { определенное лицо не получит ни одного предмета}

C = { хотя бы три человека получат по ровно одному конкретному предмету }

D = { определенные 4 предмета достанутся кому-то одному из участников}

Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями

          Опыт состоит в выборе k элементов из n с возвращением, но без  упорядочивания по мере выбора (!!! Равновероятным является не выбор каждого элемента, а выбор любого набора элементов).

Задача 1.

Предприятие-производитель продукции производственно-технического назначения производит 7 видов продукции. Приходит 4 заказа от потребителей на поставку партии одного вида продукции. Считая, что любой набор видов продукции равновероятен, найти вероятности событий:

A = { все 4 заказа на один и тот же вид продукции }

B = { все заказы на разную продукцию}

C = { по два заказа на одинаковую продукцию}

D = { один заказ одного вида и три заказа другого вида}

Задача 2.

В киоске имеется 10 видов мороженного. покупатель заказывает 6 порций. Считая, любой заказ равновероятным, найти вероятности событий:

A = { не все покупаемое мороженное будет одинаковым }

B = { будут три разных вида по 2 порции каждого}

C = { в заказе будут три разных вида}

D = { одна порция одного вида, две – другого, три – третьего}

E = { в заказе будет 2 пачки крем-брюле}

F = { в заказе не будет крем-брюле}

Змiст

Нові надходження

Всього підручників:

292